Tytuł oryginału

BURN MATH CLASS

AND REINVENT MATHEMATICS FOR YOURSELF

Copyright © 2016 by Jason Wilkes. All rights reserved

Opracowanie okładki na podstawie oryginału

Zbigniew Larwa

Redaktor prowadzący

Adrian Markowski

Redakcja i korekta

Anna Kaniewska

ISBN 978-83-8097-526-6

Warszawa 2017

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

DEDYKACJA

To jest trudniejsze, niż przypuszczałem. Zobaczmy…

No dobrze…

gdzie wartość

jest ustalana przez końcowego odbiorcę dedykacji[1].

…(

1 Obiecuję, że dalsza część książki nie jest aż tak zagmatwana.

Wstęp

Zadaniem dobrej literatury jest niesienie ukojenia zaniepokojonym i niepokojenie tych, których ogarnął błogostan.

– David Foster Wallace w wywiadzie przeprowadzonym przez Larry’ego McCaffery’ego.

Fikcję nie jest tak łatwo oddzielić od literatury faktu[2].

– Yann Martel, Beatrycze i Wergili

Spal pracownię matematyczną

No dobrze, tak naprawdę jej nie pal. Ani niczego innego. Podpalanie czegokolwiek jest godne potępienia, a w dodatku jest przestępstwem. Ja… Nie, nieważne. Nie chcę rozpoczynać książki w ten sposób.

(Autor pogrąża się na chwilę w myślach).

W zasadzie to wszyscy powinniśmy być wściekli. Ukradziono nam coś pięknego, ale nigdy nie poczuliśmy tej straty, ponieważ kradzieży dokonano na długo przed naszymi narodzinami. Wyobraźmy sobie, że za sprawą jakiegoś koszmarnego historycznego zbiegu okoliczności wszyscy jesteśmy głęboko przekonani, iż muzyka jest nudna, trudna i nieciekawa i należy jej za wszelką cenę unikać. Przypuśćmy dalej, że w dzieciństwie zmuszano nas do chodzenia na lekcje muzyki przez ponad dziesięć lat i w efekcie wyrobiliśmy sobie przeświadczenie, że muzykę można w najlepszym razie tolerować jedynie ze względu na jej wartość praktyczną. Bylibyśmy nawet gotowi przyznać, że każdy powinien znać tę dziedzinę na poziomie podstawowym, ale wyłącznie dlatego, że przydaje się w życiu codziennym: potrzebujemy muzyki, ponieważ może ona – dość rzadko – pomóc nam w realizacji innych celów. Wszyscy jednak zgadzalibyśmy się co do tego, że muzyka ma więcej wspólnego z pracą hydraulika niż ze sztuką.

Na świecie wciąż oczywiście byłoby wielu artystów. Tak samo jak teraz. Mówiąc o artystach, nie mam na myśli wyłącznie absolwentów akademii sztuk pięknych, osób parających się sztuką zawodowo czy faceta, który nabazgrał coś na papierze toaletowym i wystawił to w muzeum. Mam na myśli ludzi, którzy tworzą coś z niczego; którzy starają się zawsze być sobą; którzy potrafią złamać rzeczywistość w taki sposób, że czujemy ją koniuszkami nerwów; którzy wkraczają w ten świat rozpaleni żywym ogniem i zbyt często umierają młodo. „Muzyka nie jest dla nich – stwierdzilibyśmy kategorycznie. – Jest odpowiednia dla księgowych i lepiej niech oni się nią zajmują”. Choć ta sytuacja może wydawać się zupełnie nierealna, to jednak właśnie taki los spotkał matematykę. Ukradziono nam ją i najwyższy już czas, byśmy ją wreszcie odzyskali.

Za pomocą tej książki chcę dokonać aktu symbolicznego spalenia. Edukacja matematyczna uległa na całym świecie takiej degeneracji, że żadne próby jej ratowania nie mają już sensu – trzeba wszystko spalić i zacząć od nowa. Właśnie tak postąpimy. W tej książce nie zakładamy, że matematyka jest istniejącą już dziedziną wiedzy, która powstała bez naszego udziału i teraz należy jej się jedynie nauczyć. Na pierwszej stronie książki matematyka nie istnieje. Sami wymyślimy sobie tę dziedzinę na własny użytek, zupełnie od podstaw, pozbawieni historycznego bagażu niezrozumiałej notacji i pretensjonalnej terminologii, które są przekleństwem wszystkich podręczników. Od czasu do czasu wspomnimy tu o stosowanej powszechnie terminologii i będziemy się nią posługiwali zawsze, gdy ma to sens, ale stworzymy całkowicie własny matematyczny wszechświat i uznane powszechnie konwencje nie będą miały do niego wstępu, no chyba że sami zdecydujemy się je zaprosić.

Takie podejście nie wymaga uczenia się czegokolwiek na pamięć, zachęca do samodzielnego próbowania różnych rzeczy i uczenia się na własnych błędach, nie zmusza do przyjmowania na wiarę czegoś, czego sami nie stworzyliśmy, pozwala uniknąć stosowania dziwacznych nazw, które przesłaniają prostotę stojących za nimi idei, i pokazuje, że matematyka jest przygodą i da się ją przedstawić w formie opowieści tak łatwej do przeczytania, jak fascynująca powieść. Chociaż głównym celem naszej podróży jest czerpanie z niej przyjemności, a nie szukanie praktycznych zastosowań, mamy szczęście, że oba te dążenia wzajemnie się nie wykluczają. Dzięki tej książce naprawdę poznamy matematykę – znaczną jej część – i to całkiem dobrze.

Gdy próbuje się opowiedzieć matematykę w sposób niewymagający przyjmowania na wiarę faktów ustalonych gdzieś indziej, trudno jest nie zauważyć tego, co moim zdaniem stanowi podstawową wadę istniejącego systemu nauczania matematyki – wadę, o której nigdy się nie wspomina, nawet w najbardziej krytycznych opiniach o tradycyjnym nauczaniu tego przedmiotu:

Chodzi o to, że matematyki uczy się na opak.

Niech mi będzie wolno to wyjaśnić przez odwołanie się do osobistych doświadczeń. W szkole dostałem tróję z algebry. Z lekcji wyniosłem jedynie silną awersję do słowa „wielomian”. Dostałem tróję z trygonometrii. Po wszystkim został mi jedynie wstręt do słów „sinus”, „cosinus” i „przeciwprostokątna”. Matematyka sprowadzała się wyłącznie do uczenia się na pamięć, poczucia znudzenia i konieczności przyjmowania różnych rzeczy na wiarę – wszystko to budzi we mnie odrazę. Wprost trudno mi opisać, jak bardzo byłem szczęśliwy, gdy w ostatniej klasie szkoły średniej zdałem wreszcie wszystkie wymagane przedmioty matematyczne i uświadomiłem sobie, że już nigdy w życiu moja noga nie postanie w pracowni matematycznej. Nareszcie wolny.

W tym okresie wiele czasu spędzałem w księgarni i pewnego wieczoru mój wzrok padł na książkę do rachunku różniczkowego i całkowego. Wiele słyszałem o tym, że jest to bardzo trudna gałąź matematyki, ale nigdy się jej nie uczyłem, a teraz już nie będę musiał… cóż za przyjemna myśl. Brak przymusu uczenia się tego przedmiotu w jakiś sposób sprawił, że wydał mi się bardziej pociągający i nabrałem ochoty, by przekartkować tę książkę. Spodziewałem się, że zobaczę jakieś przerażające symbole, pomyślę sobie: „Tak, to rzeczywiście wygląda na coś trudnego”, odłożę książkę na miejsce i już nigdy do tego nie wrócę. Gdy jednak ją otwarłem, nie znalazłem w niej żadnego matematycznego bełkotu. Używając zupełnie normalnego, bezpretensjonalnego języka, autor mówił mniej więcej coś takiego: proste obiekty są łatwiejsze do przeanalizowania niż wykrzywione, a jeśli zastosujemy odpowiednio duże powiększenie, to każdy maleńki kawałek zakrzywionego przedmiotu wyda nam się niemal prosty. Jeśli więc przyjdzie ci się kiedyś zmierzyć z problemem dotyczącym jakiegoś zakrzywionego obiektu, wyobraź sobie, że powiększasz go tak długo, aż wszystko zacznie się prostować, potem rozwiąż problem na takim mikroskopowym poziomie, na którym jest to dosyć proste, a na koniec powróć do skali wyjściowej. Zadanie wykonane. To wszystko.

Każdy może to zrozumieć, nie ma to nic wspólnego z matematyką. Jeśli stoi przed tobą jakieś trudne zadanie, podziel je na wiele łatwiejszych, rozwiąż je, a potem złóż wszystko ponownie w całość. W odróżnieniu od tego, czego uczono mnie na lekcjach matematyki, takie podejście wydało mi się eleganckie i praktyczne. Zacząłem kartkować książkę i gdy zauważyłem rozdział, w którym autor narzeka na to, jak naucza się matematyki w szkole, zrozumiałem, że znalazłem bratnią duszę.

Kupiłem więc tę książkę i zacząłem ją czytać w wolnych chwilach. Podobało mi się to, jak była napisana. Sprawiła, że poczułem się rozgrzeszony z tego, iż nigdy nie lubiłem matematyki w szkole, a jednocześnie przekonała mnie, że moja opinia na temat tej dziedziny jest całkowicie błędna. Nie zamierzałem uczyć się rachunku różniczkowego i całkowego i nie pamiętałem niczego z lekcji w szkole średniej, nie miałem więc nawet pojęcia, jak rozwiązuje się owe „łatwe zadania” na poziomie mikroskopowym. Ale to nie miało znaczenia, ponieważ byłem wolny od ograniczeń formalnej edukacji i nikt nie mógł mnie ukarać, gdy się gdzieś pomyliłem.

Tak rozpoczęła się moja dziwna podróż, dzięki której poznałem rachunek różniczkowy i całkowy, nie znając algebry, trygonometrii, nie wiedząc, czym jest „logarytm” ani wszystko to, co rzekomo trzeba wiedzieć, zanim człowiek zabierze się do całek i różniczek. Kupiłem sobie zeszyt i zacząłem eksperymentować. Gdy czegoś nie rozumiałem, rysowałem jakiś diagram i próbowałem przekonać sam siebie, że to jest prawdą. Zazwyczaj mi się to nie udawało.

To dziwne, ale pojęcia związane z rachunkiem różniczkowym i całkowym okazały się najłatwiejszą częścią książki. Znacznie trudniejsze były tak zwane zagadnienia wstępne, wymagane do opanowania rachunku różniczkowego i całkowego: algebra, trygonometria i inne wypełniacze, których pełno jest w podręcznikach do szkoły średniej. Wszystko, co wiązało się z koncepcją powiększania, było dla mnie jasne: pochodne i całki były nie tylko łatwe do obliczenia, ale także proste do zrozumienia dzięki pojęciom całkowicie podstawowym. Od pozamatematycznych przesłanek ich wprowadzenia, poprzez definicje, po metody obliczania – wszystko łączyło się w spójną, sensowną całość. Od czasu do czasu jednak autor odwoływał się do pojęć, które miały być bardziej „podstawowe”, ale ja zupełnie ich nie rozumiałem, choć jak przez mgłę przypominałem sobie, że takie określenia padały z ust nauczyciela w pogrążonej w ciszy klasie pełnej znudzonych nastolatków. Za żadne skarby nie potrafiłem ustalić, skąd biorą się te rzekomo prostsze pojęcia, takie jak pole koła czy lista niewyjaśnionych „tożsamości trygonometrycznych”.

Na szczęście nikt nie zmuszał mnie do uczenia się tego wszystkiego na pamięć, wybierałem więc z książki wszystko, co było związane z rachunkiem różniczkowym i całkowym, bez zawracania sobie głowy fragmentami odwołującymi się do algebry i trygonometrii. Często bywało tak, że czytałem coś o rachunku różniczkowym i całkowym, doskonale wszystko rozumiejąc, a potem się gubiłem, ponieważ nie pamiętałem, jak dodaje się ułamki. Od czasu do czasu w tych wypadkach wystarczało, że przez chwilę przyglądałem się takiemu niezrozumiałemu krokowi, żeby mnie olśniło:

– Och, oni tu po prostu mnożą to dwukrotnie przez 1. To tak, jak gdyby skłamali, żeby ułatwić sobie zadanie, a potem wszystko odkręcili, aby nie uzyskać błędnego rozwiązania. Ciekawe…

Innym razem wpatrywanie się w niezrozumiałe przejście nic nie dawało i kwestie te pozostawały dla mnie nieprzeniknione. Logarytm, sinus i cosinus, wzory na rozwiązania równania kwadratowego czy metoda „dopełniania kwadratu” nie należały do pojęć, którymi swobodnie operowałem, i myśl o nich wywoływała we mnie jedynie uczucie kaca po wszystkich tych nieprzyjemnych doświadczeniach, jakie były moim udziałem podczas szkolnej edukacji.

Po pewnym czasie udało mi się do pewnego stopnia opanować rachunek różniczkowy i całkowy i choć wciąż nie rozumiałem „zagadnień wstępnych”, to jednak zacząłem zauważać pewne interesujące fakty. Zwróciłem na przykład uwagę na to, że pochodna objętości kuli jest polem jej powierzchni, a pochodna pola koła jest jej obwodem. W dalszym ciągu nie miałem pojęcia, skąd biorą się wzory na objętość i pole, ale ta dziwna operacja „powiększania” sugerowała, że mają ze sobą coś wspólnego. Wtedy po raz pierwszy zetknąłem się z pewną niezwykłą cechą matematyki, a mianowicie z tym, że czasami w sytuacji, gdy nie potrafimy odpowiedzieć na dwa różne pytania i nie możemy poczynić żadnych postępów na drodze do rozwiązania któregokolwiek z nich z osobna, udaje się nam udowodnić, że w obu wypadkach odpowiedź musi być taka sama, choć nie mamy najmniejszego pojęcia, jak ona brzmi. Okazuje się, że fakt ten, wyglądający na pierwszy rzut oka jak czarna magia, jest jedną z najważniejszych cech abstrakcyjnej matematyki na wszystkich poziomach. Bez wątpienia nie była to nudna, narzucona z góry dziedzina nauki, jaką pokazano mi w szkole.

Gdy nadszedł czas, by rozpocząć pierwszy rok studiów, zrobiłem coś nie do pomyślenia: zapisałem się na kurs rachunku różniczkowego i całkowego. Choć zawsze nienawidziłem matematyki każdym nerwem swojego ciała, to jednak za sprawą dziwnego przypadku w księgarni zacząłem chodzić dla przyjemności na zajęcia z podstaw rachunku różniczkowego i całkowego. Potem zapisałem się na kolejną część tego kursu. A potem mój profesor zaproponował, żebym na drugim roku chodził na zajęcia z matematyki na poziomie zaawansowanym. Przypominałem mu, że ja przecież nic nie wiem i chyba musi być szalony, skoro tak mówi. Mimo wszystko zapisałem się na te zajęcia i ukończyłem je z najlepszą oceną. Gdy dotarłem na ostatni rok studiów, władze wydziału wręczyły mi jedną z owych plakietek, na których napisano coś w rodzaju: „Gratulujemy osiągnięcia najlepszych ocen z matematyki”. Chciałbym w tym miejscu podkreślić, że absolutnie nie mam żadnego wrodzonego talentu do matematyki i w ciągu trzynastu lat mojej edukacji przed pójściem na studia nic nie wskazywało na to, że mógłbym kiedykolwiek czerpać jakąkolwiek przyjemność z poznawania tej dziedziny. Jeśli w jakimś systemie edukacji mogło dojść do opisanych tu wydarzeń, to oznacza to, że jest z nim naprawdę źle.

Ostatecznie to właśnie na wydziale matematyki, dziedziny, która była moim przekleństwem w szkole średniej, poczułem się najlepiej[3]. Po zakończeniu nauki rozpocząłem studia doktoranckie z fizyki matematycznej na Uniwersytecie Alberty. Latem po ukończeniu pierwszego roku studiów, wierny swojej tradycji robienia wszystkiego, byle nie tego, co powinienem robić, zainteresowałem się psychologią i neurobiologią. Ostatecznie spróbowałem się dostać na studia doktoranckie w tej dziedzinie, jakimś cudem zostałem przyjęty i tak zakończyłem studia z fizyki matematycznej na poziomie magistra. Obecnie mieszkam w Santa Barbara w Kalifornii, gdzie zajmuję się badaniem mózgu i ludzkiego zachowania za pomocą matematyki. Na pierwszym roku studiów doktoranckich na Wydziale Psychologii i Nauk o Mózgu poznałem wielu niezwykle inteligentnych studentów, którzy mają taki sam nieuzasadniony lęk przed matematyką, jaki towarzyszył mi w szkole średniej. Za każdym razem, gdy dostrzegam błysk strachu w czyichś oczach na wzmiankę o zaawansowanej matematyce, mam ochotę powiedzieć takiej osobie, że wszystko, co wie o tej dziedzinie, oparte jest na kłamstwie. Pozorna trudność matematyki wynika wyłącznie z tego, jak jest nauczana, i ta uwaga dotyczy również mnie. Jeśli znajdziesz w tej książce coś, czego nie uda ci się zrozumieć mimo wielu podjętych prób, to będzie to wyłącznie moja wina, nie twoja. Najważniejsze idee są niezwykle proste. Wszystkie. Masz na to moje słowo.

Podczas pierwszego roku nauki w Santa Barbara nie mogłem oprzeć się wrażeniu, że badania w każdej dziedzinie nauki mogłyby znacznie przyspieszyć, gdyby tylko specjaliści od wszystkich tych różnych dyscyplin naukowych znali lepiej matematykę. Pisząc o lepszej znajomości matematyki, nie mam na myśli znajomości większej liczby faktów matematycznych. Chodzi mi raczej o to, że ktoś powinien ich wszystkich lepiej nauczyć abstrakcyjnego myślenia. Co więcej, jestem przekonany, że dziewięć na dziesięć osób ma większy „wrodzony talent” do matematyki niż ja (cokolwiek to oznacza). Jedynym powodem, dla którego znam matematykę lepiej niż moi koledzy ze studiów doktoranckich, jest to, że zupełnie przypadkiem natknąłem się w księgarni na książkę, za sprawą której zainteresowałem się znienawidzonym dotąd przedmiotem.

Nadeszło lato i zabrałem się do pisania tej książki z myślą o wszystkich, którzy nie znoszą matematyki. Mam na myśli nie tylko młodych i rozczarowanych, ale także wielu uczonych, którzy potajemnie uważają matematykę za okropny, choć niewątpliwie konieczny element wiedzy fachowej, i zawsze cierpliwie ją tolerują, ale nigdy nie poczuli owego ognia, uczucia wolności i hedonistycznej przyjemności, jaką niesie ze sobą zajmowanie się tą dziedziną. Mam nadzieję, że udało mi się choć w części osiągnąć zamierzony efekt i podczas lektury tej książki będziemy się razem doskonale bawili[4]. Chciałbym jednak w tym miejscu podkreślić, że nie jest to jeszcze jedna z owych prób „uczynienia matematyki zabawną”, które najczęściej sprowadzają się do przypudrowania tego samego co zwykle podejścia cienką warstwą głupawych rysunków i kiepskich dowcipów. Być może zdaniem niektórych jest to już pewna poprawa w porównaniu ze standardowymi podręcznikami, ale tego typu książki nie prezentują matematyki w sposób, w jaki zawsze chciałem ją zobaczyć – nie wskazują wyraźnie wszystkiego, co jest arbitralne, co wygląda tak, a nie inaczej, jedynie dlatego, że ktoś silił się na oryginalność (świadomie lub nie), nie oddzielają historycznych zbiegów okoliczności od ponadczasowego procesu rozumowania i nie przyznają, że większość uczniów ma uzasadnione podstawy, by szydzić z tego, jak zazwyczaj naucza się matematyki w szkole, ponieważ proces ten przebiega na opak.

We wszystkich szkołach prezentuje się obecnie ten przedmiot w sposób, którego nie byłby w stanie wytrzymać żaden twórczy, niezależny umysł, ale autorzy książek próbujący zaradzić tej sytuacji przez stosowanie tytułów rozdziałów takich jak „Zwariowane funkcje i ich odlotowe wykresy” nie rozumieją najważniejszej rzeczy, która sprawia, że dla wielu uczniów przedmiot ten pozostaje tak bardzo obcy[5]. Okazuje się jednak, że wystarczy oczyścić matematykę ze wszystkiego, co nie jest konieczne, z wszystkich tych pretensjonalnych dodatków, i przedstawić ją w jak najbardziej uczciwy i ludzki sposób, by się przekonać, że jest jedną z najpiękniejszych rzeczy, jakie odkrył nasz gatunek. Jest naukowym dziełem sztuki, które nie musi tłumaczyć swojego istnienia tym, że jest „użyteczne” – choć nauczenie się go jest jedną z najbardziej przydatnych rzeczy, jakie możemy w życiu zrobić.

W każdym punkcie naszej podróży skupimy uwagę na tych ideach, które moim zdaniem są najważniejsze z pojęciowego punktu widzenia, bez względu na to, czy zwykle omawia się je razem, czy nie. Choć zaczniemy od bardzo podstawowego poziomu, to w dalszej części książki poznamy pojęcia, które zazwyczaj przedstawia się dopiero na studiach matematycznych. Jeśli istnieje jakaś książka, która przechodzi od dodawania i mnożenia do rachunku różniczkowego i całkowego w nieskończenie wymiarowych przestrzeniach, to ja jej nie znam. Mam nadzieję, że po przeczytaniu tej książki przyznasz, iż takie podejście nie jest wcale tak szalone, jak się wydaje.

Na każdym etapie przed omówieniem nowych idei postaramy się je najpierw przepuścić przez konceptualną wirówkę. W zasadzie na zajęciach ze wszystkich dziedzin prezentuje się zazwyczaj mętną, niejasną mieszankę podstawowych faktów i historycznych naleciałości, która przesłania prostotę najważniejszych idei i ukrywa ją nawet przed najlepszymi uczniami. Bardzo bym chciał, żeby nauczyciele akademiccy poświęcali więcej czasu na wyodrębnienie z tej mieszanki jej części składowych, zanim siądą do pisania podręczników i przygotowywania wykładów. Starałem się tak właśnie postępować podczas pisania całej książki, ale dobry przykład tego, co mam na myśli, można znaleźć na pierwszych kilku stronach rozdziału 4, zatytułowanego „O kołach i poddawaniu się”. Zwróć przy okazji uwagę, że koła pojawiają się w naszej opowieści dopiero po wymyśleniu rachunku różniczkowego i całkowego. I tak być powinno – wcześniej wprowadzają jedynie duże zamieszanie.

Rozważmy choćby jeden przykład tego, czym odróżnia się nasze podejście od standardowej metody nauczania. Jedną z kilku rzeczy, które zapamiętałem z lekcji matematyki w szkole średniej, było „twierdzenie Pitagorasa”, ale nie miałem pojęcia, dlaczego jest ono prawdziwe, i zupełnie nie rozumiałem, dlaczego powinno kogokolwiek obchodzić, zwłaszcza że jego wyszukana nazwa zupełnie do mnie nie przemawiała. My unikniemy tu wszystkich tych problemów, stosując następujące podejście: będziemy używali określenia „długość drogi na skróty” zamiast „przeciwprostokątna”, wymyślimy jakąś bardziej opisową nazwę niż „twierdzenie Pitagorasa”, przedstawimy najprostsze znane mi wyjaśnienia tego, dlaczego jest ono prawdziwe (wytłumaczenie tego zajmuje około trzydziestu sekund), i gdy już je wymyślimy na własny użytek, omówimy prosty przykład prawa, z którego wynika, że czas spowalnia, gdy się poruszamy[6]. Fakt ten pochodzi ze szczególnej teorii względności Einsteina, ale jego wyjaśnienie nie wymaga znajomości pojęć bardziej skomplikowanych niż „twierdzenie Pitagorasa”, na tym etapie więc będziemy mogli w pełni zrozumieć przedstawioną argumentację. Mimo to wniosek, do jakiego dojdziemy, i tak wyda ci się zaskakujący. Fakt ten musi być zdumiewający dla każdej istoty, która myśli jak człowiek, bez względu na to, od jak dawna o tym wie! Wziąwszy pod uwagę, że ten wywód staje się całkowicie zrozumiały po wymyślenia wzoru na długość drogi na skróty (znanego kiedyś jako twierdzenie Pitagorasa), ogromnym smutkiem napawa fakt, że to krótkie rozumowanie nie jest obowiązkowym elementem programu zajęć z geometrii w szkole średniej. Nauczyciele powinni bić w dzwony, rozrzucać konfetti i zacząć tłumaczyć ten wywód w pięć sekund po przedstawieniu twierdzenia Pitagorasa. Ale tego nie czynią. My tak zrobimy[7]!

W tej książce złamiemy wiele konwencji i przyjętych zasad, być może nawet zbyt wiele. Nie istnieje żadna metoda nauczania, która byłaby odpowiednia dla wszystkich, i z pewnością nie twierdzę, że ta książka jest uniwersalnym lekiem na wszystkie bolączki edukacji matematycznej, ani nie spodziewam się, że będzie właściwa dla każdego, kto chce się uczyć tego przedmiotu. Drogi Czytelniku, jeśli podejście przyjęte w niej do ciebie nie przemawia, powinieneś ją odłożyć i poszukać podręcznika, który będzie bardziej pasował do twojego stylu nauki. Twój czas jest bezcenny, nie marnuj go więc na brnięcie przez książkę, która nie przypadła ci do gustu. Ta książka jest owocem miłości powstałym dzięki zabawie, a nie w wyniku ciężkiej pracy. Najlepiej by było, gdyby była czytana z tych samych powodów.

Bez względu na to, czy ten eksperyment przyniesie jakieś trwałe korzyści, nie ulega wątpliwości, że radykalne zmiany w systemie edukacji są niezbędne. W swoim obecnym kształcie instytucje edukacyjne na wszystkich poziomach – od szkoły podstawowej przez średnią aż po wymogi stylistyczne obowiązujące w czasopismach naukowych – zdają się specjalnie skonstruowane tak, by wywołać w nas swego rodzaju odwrotny syndrom sztokholmski, polegający na wzbudzaniu odrazy do przedmiotów, które w innych okolicznościach zapewne byśmy polubili. Wychowankowie tych instytucji są znudzeni do szpiku kości najwspanialszymi, niemieszczącymi się w głowie odkryciami dokonanymi przez nasz gatunek. Jeśli uważają, że matematyka, fizyka, biologia ewolucyjna, biologia molekularna, neurobiologia, informatyka, psychologia, ekonomia i inne tego typu dziedziny wiedzy są nudne i nieciekawe, to nie jest to ich wina. Winny jest system edukacyjny, który został wprost genialnie opracowany tak, by karać twórcze podejście; system, w którym uczy się, jak należy pisać różne słowa, ale nie jak myśleć bez oszukiwania samych siebie, co w sposób nieunikniony wszyscy czynimy; system, w którym prawa przyrody i arbitralne reguły, takie jak zakaz zaczynania zdania od „więc”, przedstawia się jako równorzędne, jak gdybyśmy w obu wypadkach mieli do czynienia z równie ważnym opisem tego, jaki jest świat; system, w którym uczniowie na mocy prawa muszą spędzić większą część swojego młodego życia. Dla nich i dla wszystkich, którzy mają za sobą podobne doświadczenia, niech ta książka będzie formą przeprosin z mojej strony.

2 Yann Martel, Beatrycze i Wergili, przeł. Andrzej Szulc, Wydawnictwo Albatros Andrzej Kuryłowicz, Warszawa 2010, s. 23 (przyp. tłum.).

3 Miałem szczęście, że na studiach dane mi było spotkać wspaniałych nauczycieli, i muszę w tym miejscu wymienić Ricka Klimę i jego żonę Vicky, Erica Marlanda i Jeffa Hirsta. Miałem jeszcze wielu innych doskonałych nauczycieli, ale wymienieni przed chwilą profesorowie zasłużyli na moją szczególną wdzięczność, ponieważ okazali mi niewiarygodną wprost pomoc i zawsze cierpliwie znosili to, że wpadałem do ich gabinetów z dziwacznymi pytaniami, które nie miały nic wspólnego z żadnym z przedmiotów studiów.

4 Powyższe zdanie zostało (oczywiście) napisane przez autora książki, a więc pochodzi z nieobiektywnego źródła, którego opinie na temat jego własnego dzieła należy traktować z dużą rezerwą. To samo można jednak powiedzieć o zdaniu napisanym przed chwilą, a zatem wynika z tego, że również to ostrzeżenie trzeba traktować z nieufnością. Wygląda na to, że znaleźliśmy się w impasie. Myśl sobie, co chcesz.

5 Wypada w tym miejscu przyznać, że jest to tytuł rozdziału pewnej bardzo dobrze napisanej książki. Marku Ryanie, chciałbym pana kiedyś poznać osobiście. Jest pan wspaniałym nauczycielem.

6 Mówiąc ściśle, gdy dwa obiekty poruszają się w różnych kierunkach lub z różnymi prędkościami, ich „zegary” zaczynają odmierzać czas w różnym tempie. Nie jest to jednak właściwość zegarów, ale fizyczna cecha samego czasu. Wszechświat jest szalony. W dalszej części książki powiemy na ten temat więcej!

7 Bicie w dzwony i rozrzucanie konfetti musisz już jednak wziąć na siebie. Wprawdzie chętnie bym się tym zajął, ale niestety najprawdopodobniej nie będzie mnie wtedy w pobliżu.

Wstępniak

wstępniak (rzeczownik rodzaju męskiego)

Wstęp dla profesorów. Albo dla zawodowych matematyków, albo dla uczniów o wiedzy matematycznej wystarczającej do zrozumienia wywodów z tego rozdziału, albo dla zainteresowanych uczniów nieposiadających wiedzy matematycznej, albo dla nauczycieli szkół średnich, albo dla każdego, kto często rozmyśla o matematyce… albo nie.

To nie jest klasyczny podręcznik do matematyki „na poziomie podstawowym”. Jest to książka jednocześnie i bardziej podstawowa, i bardziej zaawansowana niż większość tego typu pozycji, z jakimi można się spotkać, i jako taka jest swego rodzaju eksperymentem.

Jakiego rodzaju eksperymentem?

Bardzo łatwo można opacznie zrozumieć tę książkę, jeśli podejdzie się do niej z oczekiwaniem, że jest podręcznikiem do matematyki, choć ma wiele cech wspólnych z podręcznikami i w gruncie rzeczy można by ją w takiej roli wykorzystać. Aby wyjaśnić jej cel i strukturę, muszę wprowadzić określenie, którego nie ma obecnie w naszym słowniku: prematematyka. Nie chodzi mi tu o wszystkie te kłopotliwe przedmioty wprowadzające, takie jak „wstęp do algebry” czy „wstęp do rachunku różniczkowego i całkowego”, którymi zamęczamy niczego nieprzeczuwających studentów. Będę raczej używał tego terminu na określenie całego zbioru idei, niejasności, pytań i dążeń, które zaprzątały umysły twórców pojęć matematycznych, skłaniając ich do zdefiniowania i zbadania właśnie tego, a nie innego rodzaju obiektu matematycznego.

Definicja pochodnej i różne wynikające z niej twierdzenia są na przykład częścią właściwej matematyki i można je znaleźć w każdym podręczniku obejmującym rachunek różniczkowy i całkowy. Znacznie rzadziej zwraca się odpowiednią uwagę na to, dlaczego pojęcie to zostało zdefiniowane właśnie tak, choć można tego było dokonać na nieskończenie wiele innych sposobów, nie poświęca się też wiele uwagi temu, jakie rozumowanie mogłoby prowadzić do wyboru standardowej definicji spośród wielu innych możliwych (pominąwszy fakt, że jest ona używana w istniejących już podręcznikach). Termin prematematyka odwołuje się właśnie do tego zbioru możliwości i argumentacji. Prematematyka obejmuje nie tylko wszystkie możliwe alternatywne definicje pojęć matematycznych, prowadzące do powstania w zasadzie identycznych teorii z formalnego punktu widzenia, ale także – i to jest chyba najważniejsze – wszystkie ślepe zaułki, w które można się zapędzić, gdy próbuje się wymyślić standardowe definicje i twierdzenia matematyczne od podstaw. Chodzi o całą tę ciężką pracę umysłową, jaką trzeba wykonać, żeby powołać pojęcie matematyczne do istnienia zupełnie z niczego. Jeśli matematyka jest kiełbasą, to prematematyka jest sposobem, w jaki robi się kiełbasę.

Głównym tematem tej książki jest właśnie ów rzadko omawiany proces przejścia od niejasnych i opisowych pojęć do dokładnych, ilościowych sformułowań, czyli proces wymyślania matematyki na własny użytek. Mówiąc o „wymyślaniu”, mam na myśli nie tylko tworzenie nowych pojęć matematycznych, ale także bardziej istotny tu proces uczenia się, jak należy wymyślać na nowo różne fragmenty matematyki, które zostały pierwotnie wymyślone przez kogoś innego, tylko w taki sposób bowiem można osiągnąć głębsze, bardziej instynktowne rozumienie tych pojęć niż to, jakie daje zwyczajne przeczytanie tradycyjnych podręczników. Praktycznie nigdy nie uczy się tego w sposób jawny, a przecież trudno byłoby znaleźć jakąś cenniejszą umiejętność, którą można przekazać uczniom na lekcjach matematyki. Nauczenie ich tego, jak mogą wymyślić (na nowo) matematykę na własny użytek, ma niezwykle ważne i podstawowe znaczenie zarówno w dziedzinie matematyki teoretycznej, jak i stosowanej. W takim podejściu zawierają się pytania czysto teoretyczne, takie jak: „Jak matematykom udało się wymyślić sposób na zdefiniowanie krzywizny, dzięki któremu mogą analizować ją w siedemnastu wymiarach, skoro nie potrafimy sobie tego nawet wyobrazić?” oraz kwestie praktyczne, takie jak: „Jak mam skonstruować model badanego zjawiska, bazując na tym, co już wiem?”. Takie pytania rozważa się często w podręcznikach, ale bardzo krótko, w ramach analizy po przedstawieniu danego zagadnienia, i niestety o wiele rzadziej nadaje się im odpowiednią rangę. Nie są traktowane jako równie ważne, a może nawet ważniejsze niż same twierdzenia i wyniki.

Uczciwy opis nieformalnego, dość chaotycznego procesu twórczego jest ważnym elementem układanki, którego brakuje w nauczaniu matematyki na wszystkich poziomach, od szkół podstawowych po studia doktoranckie i dalej. Nieobecność tego elementu jest jednym z głównych powodów, dla których nasza dziedzina tak często nudzi nawet najzdolniejszych uczniów. Nie sposób w pełni docenić elegancji i piękna matematyki, jeśli się dobrze nie zrozumie, jak wygląda ów chaotyczny taniec pojęciowy, z którego dopiero wyłaniają się idee matematyczne. Wyjaśnienie tego procesu wcale nie jest tak trudne, jak mogłoby się wydawać, ale wymaga wprowadzenia radykalnych zmian w sposobie nauczania samego przedmiotu. W tym celu w podręcznikach i wykładach należy opisać przynajmniej niektóre z falstartów, pomyłek i ślepych zaułków, w które musi się zapędzić umysł każdego normalnego człowieka, zanim uda mu się dotrzeć do obowiązujących obecnie definicji. Wymaga to nadania podręcznikom formy opowieści, której bohaterowie często trafiają na trudną przeszkodę i nie wiedzą, co robić dalej. Ta książka jest ekscentryczną, niedoskonałą, niezwykle osobistą próbą pokazania najważniejszych moim zdaniem pojęć i strategii prematematyki – strategii, którą zawodowi matematycy wykorzystują na co dzień, ale bardzo rzadko piszą o niej otwarcie w podręcznikach lub omawiają na zajęciach.

I tak dochodzimy do ważnej kwestii. Choć nadanie prematematyce właściwego znaczenia wymaga wprowadzenia radykalnych zmian w sposobie jej nauczania, to jednak nie pociąga to za sobą konieczności zmieniania tego, jak zawodowi matematycy myślą o matematyce. Prematematyka jest dla nich chlebem powszednim. Językiem, którym myślą, bo przecież z definicji właśnie oni tworzą – lub, jeśli wolisz, odkrywają – tę dziedzinę. Pod tym względem zawartość mojej książki nie jest niczym nowym. Jest nowatorska jedynie z tego powodu, że wyciąga na światło dzienne wszystkie te zagadnienia, które zwykle są skrywane za ścianą formalnych dowodów i przygotowanych zawczasu wyprowadzeń (w „nieprzyjaznych” podręcznikach) lub żartobliwych rysunków i w większości niewyjaśnianych faktów (w bardziej „przyjaznych” książkach). Jednak w żadnym punkcie kontinuum rozciągającego się między przyjaznymi książkami dla początkujących z jednej strony, a budzącymi respekt monografiami w stylu Grothendiecka z drugiej nie znajdziemy przykładu dokładnego przedstawienia procesu twórczego w sposób przydatny w pedagogice.

Zaprezentowanie pełnej prematematyki wybranego pojęcia bez przedstawienia jego matematyki byłoby niemożliwe i nie podejmuję się tu takiego nierealnego zadania. Próbuję raczej konstruować narrację prematematyczną prowadzącą od jednego pojęcia do następnego – wychodzę od dodawania i mnożenia, następnie przechodzę od razu do rachunku różniczkowego i całkowego jednej zmiennej, potem cofam się do (bardziej skomplikowanych!) zagadnień, które zazwyczaj uważa się za wymagane do zrozumienia rachunku różniczkowego, a na koniec przechodzę do rachunku różniczkowego i całkowego w przestrzeniach o skończonej i nieskończonej liczbie wymiarów. W opowieść wplotłem ogromną ilość matematyki i dlatego wykorzystanie tej książki w roli podręcznika wydaje się jak najbardziej możliwe. Jednak z racji tego, że w książce znajduje się szczegółowy opis prematematyki każdego pojęcia, sama matematyka okazuje się zaskakująco oczywista i właśnie dlatego większą wagę przykłada się tu do tego pierwszego kroku. Nie chcę przez to powiedzieć, że czytelnik znajdzie obszerne i pełne omówienie wszystkich opisywanych zagadnień. W żadnym razie! Jest to raczej moja próba pokazania wszystkiego, czego obecnie brakuje pod względem informacji, motywacji i sposobu nauczania tego przedmiotu. Ta książka jest pierwszą próbą udowodnienia koncepcji, a nie wypolerowanym diamentem. Mam nadzieję, że wywoła dyskusję, i w żadnym razie nie uważam jej za ostatnie słowo na jakikolwiek temat.

Co więcej, chciałbym wyraźnie podkreślić, czego nie krytykuję. Problem podstaw pedagogicznych jest z gruntu czymś innym niż problem podstaw logicznych, choć w większości podręczników obie te rzeczy niejawnie się ze sobą łączy. Nie zamierzam krytykować logicznego punktu wyjścia całej dziedziny, co oznacza, że swoją logikę opieram na rachunku predykatów pierwszego rzędu, a teoria bazuje na systemie aksjomatów ZFC, NBG lub innym wybranym zestawie aksjomatów teorii mnogości[8]. Pragnę natomiast poddać krytyce pedagogiczny punkt wyjścia stosowany w nauczaniu matematyki, a to przecież właśnie z nim ma styczność zdecydowana większość naszego społeczeństwa.

Dlaczego prematematyka jest pomijana?

Wziąwszy pod uwagę wszechobecność prematematyki w pracy zawodowych matematyków, warto się zastanowić, dlaczego tak rzadko jest ona widoczna w podręcznikach i artykułach naukowych. Z pewnością stoi za tym wiele powodów, ale moim zdaniem największym winowajcą jest profesjonalizm. Choć prematematyka ma podstawowe znaczenie dla zrozumienia naszej dziedziny, została formalnie usunięta z wszelkich dyskusji wymagających profesjonalnego podejścia, włącznie z pracami matematycznymi ukazującymi się w czasopismach akademickich (choć w żadnym razie problem się do tego nie ogranicza). Dlaczego tak jest? Wynika to właśnie z tego, że prematematyka nie jest formalna. Jest (z definicji) zbiorem przeczuć, pomysłów i przypuszczeń prowadzących do opracowania formalnej teorii matematycznej, a jedynym dokładnym, uczciwym sposobem wyjaśnienia niedokładnego procesu myślowego jest przedstawienie nieformalnej argumentacji za pomocą języka potocznego – języka, który pozwala wyrazić odpowiednio to, że nie mamy stuprocentowej pewności, iż nasze przypuszczenia są trafne, i zawsze (do pewnego stopnia) błądzimy w ciemnościach. Tak użyty język potoczny wcale nie powoduje, że argumentacja staje się głupsza. Jest dokładnym sposobem opisania toku myślowego prowadzącego do powstania nowych pojęć matematycznych. A bez uświadomienia sobie tego, jak powstaje matematyka, nasze rozumienie tej dziedziny pozostanie upośledzone w porównaniu z tym, jakie mogłoby być.

Aby postawić sprawę jasno, wypada mi dodać, że nie próbuję tu krytykować ścisłych wywodów matematycznych ani pojęcia dowodu formalnego. Jednak dowody takie nie powstają z niczego od razu w całkowicie ukształtowanej postaci, nie dzieje się tak również (a to jest jeszcze bardziej istotne) w wypadku formalnych definicji pojęć matematycznych, na których się owe dowody opierają. Nazbyt formalny opis swobodnego procesu myślowego wprowadza czytelnika w błąd, ponieważ przedstawia dowody nieistniejących zasad, a tym samym wywołuje u odbiorcy przeświadczenie, że niemożność zrozumienia, jak A wynika z B, musi być skutkiem braku jego wiedzy, gdy tak naprawdę często wynika to z braku precyzji w rozumowaniu prematematycznym leżącym u podstaw danej kwestii. Rzetelne przedstawienie zagadnień wymaga opisania językiem potocznym tego, co jest nieformalne. Profesjonalizm ma swoje miejsce, ale jego podstawową funkcją jest trzymanie w ryzach szczerości, i to właśnie za jego sprawą prematematyka jest niemal całkowicie nieobecna w literaturze naszej dziedziny.

Czym miała być ta książka na samym początku

Książka ta powstała jako próba wyjaśnienia podzbioru wszechświata matematyki w jak najbardziej uczciwy i bezpretensjonalny sposób, tak by na każdym etapie można było jasno pokazać wszystkie sekrety naszego fachu. Na każdym kroku starałem się oddzielić niezbędne etapy logicznego wywodu od konwencji wynikających z historycznych naleciałości; podkreślałem, że odstraszające często terminy „równanie” i „wzór” są jedynie synonimami słowa „zdanie”; próbowałem jasno pokazać, że wszystkie symbole stosowane w matematyce są tylko skrótami oznaczającymi rzeczy, które można by było wyrazić słownie; starałem się wciągnąć czytelnika w proces wymyślania dobrych skrótów; zawsze usiłowałem wyraźnie podkreślić różnice między tym, jak dane zagadnienie jest przedstawiane w innych podręcznikach, a tym, jak mogłoby być pokazane; starałem się przedstawić każde wyprowadzenie nie w standardowej, ukończonej i oczyszczonej postaci, która nic nie mówi o prowadzącym do niej procesie myślowym, ale w taki sposób, by pokazać przynajmniej niektóre ślepe zaułki, w które większość z nas musiałaby się zapędzić przed dotarciem do ostatecznego rozwiązania; próbowałem wyjaśnić wszystko tak dogłębnie, jak to możliwe, bez szkody dla spójności całej opowieści; i przysiągłem w duchu, że raczej spalę tę książkę, niż pozwolę sobie na użycie choćby jeden raz zwrotu „powinieneś to zapamiętać”. Patrząc z perspektywy czasu, dochodzę do wniosku, że teraz wiele rzeczy zrobiłbym inaczej, ale przynajmniej udało mi się wypełnić postawione przed sobą cele, które przed chwilą opisałem.

Starałem się również wyjaśnić dziwne balansowanie naszej dziedziny na granicy między strukturalną koniecznością a nieograniczoną swobodą. Tej kwestii praktycznie nigdy nie tłumaczymy uczniom, dlatego próbowałem ją podkreślać przy każdej możliwej okazji. Pozwól, że wyjaśnię, co mam na myśli. Z jednej strony mamy anarchię. Mamy pełną swobodę w wykorzystywaniu aksjomatów i możemy się posługiwać nawet takimi, które tworzą zbiór niespójny. Definiowanie i wykorzystywanie niespójnego systemu formalnego nie jest zakazane, ale jest nudne. Na przykład „dzielenie przez zero” nie jest zakazane, o czym dobrze wie każdy nauczyciel matematyki. Możemy sobie zdefiniować symbol , przypisując mu własność dla wszystkich , i w wielu podręcznikach analizy matematycznej tak się właśnie postępuje w rozdziale zatytułowanym zazwyczaj „Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych”[9]. Jeśli jednak zależy nam na zdefiniowaniu takiego symbolu, to badana struktura algebraiczna nie może być ciałem. Chcesz się upierać przy stwierdzeniu, że to wciąż jest ciało? Proszę bardzo, ale wtedy można mówić wyłącznie o „ciele jednoelementowym”. Zamierzasz się upierać, że istnieje jednak więcej niż jeden element albo że ciała, zgodnie z przyjętą przez ciebie definicją, mają co najmniej dwa elementy? Nie ma sprawy, ale wtedy działasz w ramach niespójnego systemu formalnego. Chcesz tego? Świetnie. Teraz jednak możemy udowodnić każde zdanie i nie pozostaje nam już zbyt wiele do roboty.

Należy podkreślić, że nawet gdy natrafiamy na niewzruszony mur, tak jak w tym wypadku, nie oznacza to, że wykonaliśmy jakieś nielegalne działanie. Sprawiliśmy jedynie, że nasze rozważania stały się nudne. Każdy matematyk wie, że w matematyce nie ma żadnych praw, przynajmniej jeśli chodzi o to, co wolno nam badać. Istnieją jedynie bardziej lub mniej eleganckie i interesujące struktury matematyczne. Kto decyduje o tym, co jest eleganckie i interesujące? My – c.b.d.o.

Z drugiej strony mamy ustrukturyzowaną część matematyki. Gdy już przejdziemy przez etap, na którym „wszystko jest dozwolone”, i określamy, jakie przyjmujemy założenia i o co nam tak naprawdę chodzi, dopiero wtedy możemy się przekonać, że wyczarowaliśmy zupełnie niezależny od nas świat prawdy. Na początku nie będziemy zapewne zbyt wiele wiedzieć o tym świecie, ale jego zbadanie jest naszym zadaniem.

Nie muszę chyba mówić, że gdy zapominamy powiedzieć uczniom o tej najbardziej podstawowej kwestii związanej ze swobodą i strukturą, to pokazujemy im naturę matematyki w fałszywym świetle. Z jakichś niewyjaśnionych powodów praktycznie nigdy nie opowiadamy im o tej dziwnej wzajemnej zależności między swobodnym tworzeniem i ustrukturyzowanym wywodem. Jestem przekonany, że jest to jeden z powodów, dla których tak wielu uczniów postrzega matematykę jako swego rodzaju totalitarne pustkowie pełne nieznanych, nieokreślonych praw, i w związku z tym przepełnia ich lęk, że przypadkowo zrobią coś niedozwolonego. Ja właśnie tak czułem się w szkole średniej, przed wydarzeniem w księgarni, o którym opowiedziałem we wstępie. Jest to jeden z problemów, któremu chciałbym zaradzić, pisząc tę książkę.

Książka sama zdecydowała, że chce również opowiedzieć o czymś innym

Choć bardzo pragnąłem wyjaśnić kwestie ogólne, takie jak szeroko rozumiana struktura matematyki, to ostatecznie jednak chciałem przejść do omawiania pojęć, które opisuje się w tradycyjnych podręcznikach, tak by książka była przydatna dla uczniów tu, na Ziemi. Aby to osiągnąć, musiałem w jakiś sposób tak pokierować opowieścią, by dotrzeć do wielu tradycyjnych definicji podręcznikowych, zanim zabiorę się do wyjaśniania wynikających z nich wywodów matematycznych. Ponieważ jednak postawiłem sobie jasno określone cele, postanowiłem, że nie wprowadzę tych definicji w tradycyjny sposób, polegający najczęściej na tym, że informuje się czytelnika, nierzadko zupełnie niepodziewanie, iż „to i to definiuje się w taki a taki sposób” – w najlepszym wypadku takie przedstawienie definicji poprzedza kilka stron wprowadzenia pojęciowego lub historycznego, ale potem następuje ogromny pojęciowy skok w sam środek matematycznej definicji. Odżegnując się od takiej praktyki, nałożyłem sobie dość duży zbiór ograniczeń. Problem ten można podsumować w następujący sposób:

Przyjmijmy, że nie mamy pojęcia o matematyce z wyjątkiem podstaw dodawania i mnożenia. Nie musi to wcale oznaczać, że znamy algorytmy pozwalające wykonywać te działania, ale przynajmniej rozumiemy zdania takie jak: „dwa razy większy” i mniej więcej wiemy, o co chodzi w obu działaniach. Załóżmy też, że żyjemy w świecie, w którym nie ma żadnych podręczników. Czy moglibyśmy w takiej sytuacji jakoś odkryć choćby najprostsze fragmenty matematyki? A biorąc pod uwagę konkretny przykład, czy zdołalibyśmy ustalić, że pole prostokąta jest równe „długość razy szerokość”?

Popełnilibyśmy oczywiście błąd, gdybyśmy próbowali odpowiedzieć na to pytanie, wyjaśniając, jak definiuje się pole powierzchni w teorii miary, i mówili o aksjomatach, piątym postulacie Euklidesa czy o tym, że wzór nie obowiązuje w geometrii nieeuklidesowej. Nie chodzi tu o ścisłość pojęć ani o historię. Interesuje nas kwestia stworzenia czegoś od podstaw. Pytanie dotyczy tego, jak możemy przejść od niejasnych, opisowych, zwyczajnych określeń do dokładnych, ilościowych pojęć matematycznych, jeśli nie mamy w pobliżu nikogo, kto mógłby nam w tym pomóc lub zrobić to za nas.

Takie właśnie pytanie zadała mi kiedyś jedna z moich najbliższych przyjaciółek, Erin Horowitz. W czasie gdy zabrałem się do pisania tej książki, od czasu do czasu spotykaliśmy się ze sobą, żeby przez kilka godzin rozmawiać o matematyce. Erin nie ma wykształcenia matematycznego, ale wszystko bardzo ją interesuje i zawsze chce wiedzieć, dlaczego coś wygląda tak, a nie inaczej. Rozmawialiśmy o językach formalnych, szeregach Taylora, koncepcji przestrzeni funkcyjnej i innych szalonych rzeczach, które akurat nas zaintrygowały. Pewnego razu postawiła mi wspomniane pytanie o to, jak powstają idee matematyczne. Odpowiedź nie jest trudna, gdy się je już sformułuje w taki sposób, wykorzystując pole prostokąta jako przykład. Przedstawiłem jej więc najprostsze rozumowanie, jakie przyszło mi do głowy – takie jak wywód na temat pola powierzchni zamieszczony w rozdziale 1, w podrozdziale zatytułowanym „Jak wymyślić pojęcie matematyczne”. Gdy już skończyłem swój wykład, spytała, dlaczego nie wyjaśnia się tego w taki sposób w szkole. Bez trudu zrozumiała moją krótką argumentację i wydaje się, że powinna ona być jasna dla wszystkich. Najdziwniejsze w tym wszystkim jest to, że mój wywód wymaga rozwiązania równania funkcyjnego.

Na wydziałach matematyki rzadko proponuje się kursy poświęcone wyłącznie równaniom funkcyjnym. Nie twierdzę, że powinno ich być więcej, ale gdy się nad tym zastanowić, fakt ten wydaje się dość dziwny. W końcu każdy student matematyki musi w trakcie swej nauki rozwiązać wiele równań różniczkowych – i słusznie – nie uniknie też równań całkowych, ale obszar matematyki poświęcony badaniu i rozwiązywaniu ogólnych równań nieznanych funkcji jest w dużej mierze zaniedbany przez historię. Mimo że jest to jedno z najstarszych zagadnień w matematyce, bardzo rzadko się o nim słyszy. W swoim monumentalnym dziele Lectures on Functional Equations and Their Applications (Wykłady z równań funkcyjnych i ich zastosowań) János Aczél żali się, że „w ciągu wszystkich tych lat nie doczekaliśmy się systematycznej prezentacji tej dziedziny, mimo że znana jest od dawna i ma duże znaczenie praktyczne”.

Ze zdumieniem odkryłem, że równania funkcyjne są niezwykle pomocne w wyjaśnianiu nawet najprostszych pojęć matematycznych, jeśli tylko przedstawi się poszczególne idee w odpowiedni sposób[10]. Pozwól, że wyjaśnię, o co mi chodzi. Nie wolno używać określenia „równanie funkcyjne”, a jeśli to tylko możliwe, należy również unikać słowa „funkcja”. Większość ludzi wyniosła z lekcji matematyki tak złe wspomnienia, że łatwo możemy ich zrazić i przygasić naturalną kreatywność, jeśli będziemy się zbyt często posługiwali tradycyjną terminologią matematyczną. Zamiast tego należy powiedzieć mniej więcej coś takiego:

Przypuśćmy, że mamy niejasne, zwyczajne pojęcie, które chcemy przekształcić w dokładne pojęcie matematyczne. Jakkolwiek to zrobimy, będzie to poprawne, ponieważ to my decydujemy o tym, które przekształcenia są właściwe. Chcemy jednak upchnąć w naszym matematycznym pojęciu jak najwięcej znaczeń zawartych w wyjściowym, potocznym rozumieniu danego określenia. Zaczynamy więc od opisania naszego potocznego pojęcia kilkoma zdaniami. Potem przechodzimy do wymyślenia skrótów tych zdań[11]. Następnie usuwamy w myślach wszystkie możliwości, które nie zachowują się zgodnie z naszymi oczekiwaniami. Jeśli chcemy, możemy cały proces powtórzyć, przekształcając coraz większą liczbę niejasnych, potocznych informacji w postać skróconą, a potem odrzucając w myślach wszystko, co nie zachowuje się we właściwy sposób. Wystarczy zapisać kilka przykładów, by powoli nabrać przekonania, że poszukiwana przez nas dokładna definicja musi mieć pewną określoną postać. Wcale nie jest powiedziane, że dojdziemy do jednej tylko możliwości, a poza tym, nawet jeśli tak się stanie, to nie musimy wiedzieć, że otrzymaliśmy jedyne możliwe rozwiązanie, ale to nie ma znaczenia. Jeśli uzyskamy więcej niż jedną definicję spełniającą wszystkie nasze oczekiwania, to możemy zrobić to samo, co matematycy robią na porządku dziennym, nikomu o tym nie wspominając: wybrać spośród nich tę definicję, która naszym zdaniem jest najładniejsza. Co znaczy „najładniejsza”? To już zależy od nas.

Jednym słowem, choć może się to wydać szalone, uważam, że nieformalny wywód matematyczny z wykorzystaniem równań funkcyjnych jest nie tylko lepszym sposobem wyjaśnienia, skąd biorą się definicje na wszystkich poziomach matematyki, ale ponadto taka argumentacja pozwala naprowadzić czytelnika na rozwiązanie bez autorytarnego narzucania mu czegokolwiek i tym samym zaangażować go w proces tworzenia pojęć matematycznych w sposób niespotykany w tradycyjnych podręcznikach i kursach wstępnych. Zaskakująco często (ale oczywiście nie zawsze) okazuje się, że ów rzadko omawiany prematematyczny krok przekształcenia niejasnych pojęć jakościowych w matematyczne pojęcia ilościowe wymaga użycia właśnie równań funkcyjnych. W rozdziale 1 wykorzystujemy tę koncepcję do „wymyślenia” pojęć pola powierzchni i współczynnika kierunkowego prostej, dochodząc do tradycyjnych definicji nie przez ich przedstawienie, ale przez wyprowadzenie ich z jakościowych zależności obowiązujących między zwyczajnymi, potocznymi pojęciami. Jest to prosta ilustracja tego, jak mogłaby wyglądać prematematyczna pedagogika, ale mamy tu do czynienia tylko z jednym przykładem i z pewnością wiele można jeszcze poprawić. W głównej części książki „wymyślimy” w ten sposób znaczną część matematyki, czasami wykorzystując do tego w nieformalny sposób równania funkcyjne, czasami nie, ale zawsze stwierdzając wyraźnie, co chcemy osiągnąć i w jaki jeszcze inny sposób można by uzyskać zamierzony cel.

Jak może to pomóc

Aby zrozumieć, czym położenie nacisku na prematematykę różni się od podejścia tradycyjnego, przeanalizujmy konkretny przykład tego, jak stosowana obecnie praktyka nauczania sama zapędza się w ślepy zaułek. Rozważmy problem, przed jakim staje nauczyciel lub autor podręcznika próbujący wyjaśnić, skąd bierze się definicja współczynnika kierunkowego prostej. Z jednej strony chcemy przedstawić argumentację stojącą za wprowadzeniem tego pojęcia, z drugiej zaś pragniemy dojść do tradycyjnej definicji , czyli jak się czasem mówi w podręcznikach: „zmiana wysokości przez dystans”. Cały rachunek różniczkowy opiera się na tym wzorze i na idei granicy, jego właściwe wyjaśnienie jest więc niezwykle ważne. Nauczyciele i autorzy podręczników stają przed następującym problemem. Mogą próbować znaleźć jakiś zbiór postulatów, który wskaże wzór „zmiana wysokości przez dystans” jako jedyną definicję spełniającą wszystkie postulaty, ale dowód tego byłby zbyt skomplikowany dla uczniów poznających dopiero matematykę i zapewne rodziłby więcej pytań niż odpowiedzi. Postanawiają więc przedstawić wzór „zmiana wysokości przez dystans” jako obowiązującą definicję, przytaczając przedtem być może kilka informacji wprowadzających. Wziąwszy pod uwagę ich sytuację, wydaje się, że jest to zupełnie sensowne wyjście.

Uważam jednak, że tego typu podejście wywołuje dezorientację u znacznie większej liczby uczniów, niż się nam wydaje, na zawsze zrażając ich do matematyki. Gdy w szkole średniej poznałem definicję współczynnika kierunkowego prostej, przyczyniło się to jedynie do zwiększenia mojej niechęci do tego przedmiotu. Takie wprowadzenie tego pojęcia (i) pozostawia bez odpowiedzi nieskończenie wiele pytań, (ii) sprawia, że każdy myślący uczeń czuje się, jak gdyby coś mu umknęło, i (iii) sugeruje, że jeśli czegoś nie zrozumiał, to jest to tylko jego własna wina. Uczniom faktycznie umyka tu pewien fakt, ale to nie jest ich wina; nie zauważają pewnej rzeczy, ponieważ z rozmysłem została przed nimi ukryta przez nauczyciela, który kierował się jak najlepszymi intencjami. Ja na przykład poczułem coś, co można by oddać stwierdzeniem: „Żadnej z tych definicji nie potrafiłbym wyprowadzić samodzielnie z pierwszych zasad, czegoś więc tu nie rozumiem”. Oczywiście nie potrafiłem wtedy wyrazić swoich uczuć takimi słowami. Myślałem sobie jedynie: „Zupełnie tego nie rozumiem”.

Gdy po wielu latach sam musiałem wyjaśniać matematykę innym, zawsze starałem się podkreślać, że moglibyśmy zdefiniować współczynnik kierunkowy prostej jako „trzykrotność zmiany wysokości przez dystans” lub „zmiana wysokości przez dystans do piątej potęgi”, a nawet jako „dystans przez zmianę wysokości” i oprzeć na którejkolwiek z tych definicji cały rachunek różniczkowy i całkowy. Wszystkie wzory wyglądałyby wówczas nieco inaczej (a może nawet byłyby zupełnie inne, w zależności od tego, którą definicję byśmy wybrali) i być może musielibyśmy wyrazić niektóre znane twierdzenia w nieco innej, a nawet zupełnie odmiennej postaci, ale zasadnicza treść całej teorii byłaby taka sama, bez względu na to, jak byłaby brzydka i nierozpoznawalna. To samo można powiedzieć w odniesieniu do każdego innego pojęcia. Nie zdarzyło mi się jeszcze, żeby po przedstawieniu takiego wyjaśnienia nie padło pytanie, dlaczego nie tłumaczy się tego w taki sposób w szkole. Nie wiem. A przecież tak być powinno.

Spal pracownię matematyczną: matematyczna historia stworzenia

Co w takim razie mam opublikować? L.J. Savage (1962) zadał to pytanie, by wyrazić swoje zdumienie faktem, że bez względu na to, jaki temat wybrał do dyskusji, i bez względu na przyjęty styl wypowiedzi zawsze był krytykowany za to, że nie dokonał innego wyboru. Nie był w tym osamotniony. Chcielibyśmy prosić o nieco więcej tolerancji dla naszych różnic.

– Edwin Thompson Jaynes, Probability Theory:

The Logic of Science (Teoria prawdopodobieństwa: logika nauki)

Pisanie książki jest niezwykle emocjonującym przeżyciem. Miałem szczęście, że w przygotowaniu tej pracy do wydania pomagało mi dwoje wspaniałych redaktorów, Thomas J. Kelleher i Quynh Do, których rady były dla mnie wprost nieocenione. Podczas pracy najczęściej kontaktowałem się z Quynh, która z nieograniczoną cierpliwością pomagała mi poprawić kolejne wersje – mogę sobie jedynie wyobrażać, jak trudne musiało być redagowanie tego typu tekstu. Choć nie zawsze się ze sobą zgadzaliśmy, to dzięki jej uwagom książka jest o wiele lepsza, niż mogłaby być bez jej pomocy. Przyjęło się, że po podziękowaniu redaktorom autor zamieszcza zastrzeżenie „wszelkie błędy pozostałe w tekście są wyłącznie moją winą”, ale takie stwierdzenie byłoby w moim wypadku zbyt łagodne.

Jestem przekonany, że nawet w swojej ostatecznej postaci książka ta musi zawierać mnóstwo różnorakich uchybień: literówek; niepoprawnych zwrotów stylistycznych; źle sformułowanych zdań; powtórzeń; sprzeczności; zbyt aroganckich stwierdzeń; wypowiedzi nadmiernie zachowawczych; stwierdzeń: „Nigdy nie zrobię X!”, po których od razu następuje X; stwierdzeń „Nigdy nie zrobię X!”, po których następuje X, ale nie od razu; żartobliwych aluzji, których nikt nie zauważy albo nie zrozumie; nieświadomego zrażania lub obrażania niewinnych czytelników; eksperymentowania z tekstem w sposób, który dla wielu może się okazać drażniący; zbyt wielu wstępów; zbyt wielu dygresji; zbyt wielu dialogów; zbyt małej liczby dialogów; zbyt wielu komentarzy na temat samej książki; niezrozumiałych słów greckich i łacińskich zamiast wyśmiania ich (i ludzi, którzy się nimi posługują) z racji tego, że są bardziej pretensjonalne niż pożyteczne; i przynajmniej jednego niewybaczalnie wprost poważnego błędu, najprawdopodobniej wynikającego z przypadkowego przekopiowania fragmentu tekstu do nieodpowiedniego akapitu w zupełnie innej części książki… i tak dalej w nieskończoność.

To jest moja pierwsza książka. Wzniosłem ją na rusztowaniu własnych błędów. Nigdy nie sądziłem, że napiszę kiedyś książkę, i gdy zaczęło się to dziać, byłem całkowicie zaskoczony. Napisałem ją w ciągu czterech miesięcy, latem 2012 roku, w stanie uniesienia, i pamiętam tylko, że wypiłem wtedy morze kawy, miałem przemęczony wzrok, pracowałem jednym ciągiem po szesnaście godzin, zapominałem o posiłkach i czerpałem ogromną przyjemność z każdej spędzonej w ten sposób minuty. Pisanie nigdy nie sprawiało mi tak dużej radości. Miałem wówczas 25 lat. Od tej pory minęło trochę czasu i teraz wydaje mi się, że jestem inną osobą. Czytanie niektórych fragmentów pracy sprawia mi fizyczny ból. Gdy książka powstaje w taki sposób, to po prostu musi narodzić się z pewnymi defektami, których nie zdoła ukryć najlepsza nawet redakcja i polerowanie tekstu.

Większość tych wad jest dziełem przypadku, ale niektóre wynikają z konstrukcji książki. Gdy jakiś błąd jest zwyczajną pomyłką, możemy bez przeszkód go usunąć. Jeśli poprawimy literówkę w zdaniu , zdanie + 1 ani trochę na tym nie ucierpi. To samo dotyczy nieodpowiedniego doboru słów lub niepotrzebnych powtórzeń i tego typu błędy powinno się poprawiać (choć z pewnością wielu takich pomyłek nie udało się nam zauważyć i wciąż gdzieś tam są).

W niektórych jednak wypadkach błąd nie jest pomyłką, ale stopniem w schodach prowadzących do celu. Czymś, bez czego nigdy nie dotarlibyśmy do danego miejsca. Usunięcie -tego stopnia zniszczy następny stopień, bez względu na to, czy schody tworzą opowieść, czy wywód matematyczny. Jeśli chcemy odpowiednio przekazać niektóre niezwykłe idee, musimy popełnić błędy. Moim celem jest zdradzenie czytelnikom tajemnic procesu twórczego związanego zarówno z uprawianiem matematyki, jak i z pisaniem książek, a tego po prostu nie można odpowiednio pokazać w sposób niebudzący żadnych zastrzeżeń. Jeśli wprowadzenie wszystkich dziwactw zawartych w tej książce miało jakiś jeden wspólny cel, to była nim bezgraniczna szczerość. Rozumiem przez to całkowitą otwartość i jawność nie tylko w kwestiach związanych z procesem twórczym w matematyce, ale także w sprawach dotyczących pisania książki i uczuć, jakie mi towarzyszyły, gdy po długiej przerwie powracałem do napisanych wcześniej fragmentów i uświadamiałem sobie, że pewne niedociągnięcia są tak silnie zakorzenione, iż nie uda się ich usunąć. Myśl o tym, że ktoś może zechcieć poświęcić swój cenny czas na przeczytanie tej książki, napawa mnie takim szczęściem, że nie chciałbym niczego przed taką osobą ukrywać. Pragnę pokazać moim czytelnikom dosłownie wszystko. Bez żadnych ograniczeń. Nic więc dziwnego, że tak powstała książka jest dość niezwykła.

Mam nadzieję, że uda mi się wszystkich przekonać, iż powodem, dla którego tak wielu członków naszego społeczeństwa nigdy nie pokochało ani nie zrozumiało matematyki, jest fakt, że przekazujemy tę dziedzinę wiedzy w zupełnie nieodpowiedni sposób. To nie oznacza, że wiem, jak należy robić to poprawnie! Ta książka może się okazać całkowitym nieporozumieniem, ale jednego jestem pewien: matematyka zasługuje na coś lepszego niż metody, jakimi obecnie się jej naucza na każdym poziomie. Jest ona moją osobistą próbą naprawienia przynajmniej niektórych z tych błędów – postanowiłem tego dokonać przez napisanie książki, którą zawsze chciałem przeczytać.

Masz ochotę trochę się zabawić? Ja też. Zaczynajmy.

CIĄG DALSZY DOSTEPNY W PEŁNEJ, PŁATNEJ WERSJI

8 Znakomitą krytykę standardowego podejścia do podstaw logicznych opierającego się na teorii mnogości można znaleźć w doskonałej książce Roberta Goldblatta Topoi: The Categorial Analysis of Logic (Toposy: Analiza kategorialna logiki).

9 Choć z oczywistych powodów oznacza się go zazwyczaj za pomocą znaku ∞, a nie . Ja posługuję się symbolem , by wyraźnie pokazać, że przedstawiona argumentacja nie jest problemem „nieskończoności”, ale nudy, która zaczyna niszczyć nasz matematyczny wszechświat w chwili, gdy przyjmujemy, że element neutralny dodawania ma swoją odwrotność względem mnożenia.

10 Nie chodzi tu o równania funkcyjne w ich pełnej, ogólnej postaci przedstawionej w monografii Aczéla, ale ich nieco nieformalną postać, podobną do postaci rachunku różniczkowego i całkowego, jaką prezentuje się przed wyjaśnieniem analizy matematycznej.

11 W tym momencie zapisujemy równanie funkcyjne, nie mając nawet o tym pojęcia.

Table of Contents

Wstęp

Wstępniak