Tytuł oryginału

COSMIC NUMBERS

The Numbers That Define Our Universe

Copyright © 2011 by James D. Stein

Published by Basic Books, A Member of the Perseus Books Group

All rights reserved

Projekt okładki

Prószyński Media

Ilustracja na okładce

© East News

Redaktor serii

Adrian Markowski

Redakcja

Anna Kaniewska

Korekta

Bronisława Dziedzic-Wesołowska

ISBN 978-83-7961-546-9

Warszawa 2013

Wydawca

Prószyński Media Sp. z o.o.

02-697 Warszawa, ul. Rzymowskiego 28

www.proszynski.pl

Dla Billa Bade’a

z wyrazami wielkiej wdzięczności za pomoc

PRZEDMOWA

Podczas pisania tej książki doświadczyłem czegoś zupełnie nowego.

Napisałem już wcześniej kilka książek, jednak nie jestem wystarczająco uznanym autorem, który po prostu przynosi tekst i od razu ceniony wydawca chce go wprowadzić na rynek. Jak większość przyszłych autorów muszę najpierw napisać konspekt, na który składa się zarys książki, określenie potencjalnego odbiorcy i kilka przykładowych rozdziałów. Następnie mój agent przesyła konspekt różnym wydawcom i – jeśli mam szczęście – jeden z nich proponuje wydanie książki.

Liczby fascynowały mnie od zawsze i nagle dotarło do mnie, że historia odkrycia liczb, które stanowią sedno tej książki – kosmicznych – mogłaby stanowić materiał fascynującej książki. Bardzo niewiele jest nowych pomysłów pod słońcem, a na ten wpadło już kilku innych autorów. Martin Rees napisał książkę zatytułowaną Tylko sześć liczb (z których kilka tutaj przedstawiam) opisującą sześć liczb, które według niego leżą u podstaw kosmologii. Istnieją jednak inne liczby, które moim zdaniem również zasługują na opowiedzenie ich historii. Dlatego przygotowałem zarys książki, a także wprowadzenie i przykładowy rozdział o zerze bezwzględnym. Ku mojej wielkiej radości zdecydował się ją opublikować Basic Books, czołowy wydawca książek naukowych, a na współpracę zgodził się T.J. Kelleher, o którym wiedziałem, że jest świetnym redaktorem, ponieważ pracowałem z nim już wcześniej przy tomie How Math Explains the World (Jak matematyka tłumaczy świat).

Wiedziałem, że T.J. to wybitny redaktor, ponieważ – jest to jedna z wielu przyczyn – kiedy pracowaliśmy nad poprzednią książką, wiele czasu poświęcił na ustawianie kolejności rozdziałów. Dzięki temu książkę lepiej się czyta; jego wybór nie pokrywał się z moim, jednak niezaprzeczalnie okazał się lepszy. Nie sądziłem, że organizacja rozdziałów będzie podobnym problemem przy tej książce, gdyż kosmiczne liczby, które tu omawiam, należą do trzech dziedzin nauk fizycznych: fizyki, chemii i astronomii. Początkowo wyobrażałem sobie książkę uporządkowaną według tych dziedzin i rozpocząłem pracę nad oczywistym pierwszym rozdziałem – o stałej grawitacyjnej.

Proces pisania był niezwykły, ponieważ wydawało się, że każdy rozdział zapowiada następny i że niejako układają się one same w kolejności, zgodnie z historycznym rozwojem nauki, a nie przez grupowanie rozdziałów na podstawie dyscypliny naukowej. Po kilku rozdziałach zdałem sobie sprawę, że pisałem zarys historii nauki poparty przykładami liczbowymi, które zdecydowałem się wykorzystać. W żadnym wypadku nie jest to kompletna historia nauki; nauki przyrodnicze nie zostały uwzględnione, a rozwój wydarzeń zatrzymuje się gdzieś w połowie XX wieku. Niemniej jednak jeżeli wręczycie tę książkę komuś, kto zupełnie nie zna się na naukach ścisłych (niestety dotyczy to ogromnej części amerykańskiego społeczeństwa), to po zakończeniu lektury będzie całkiem nieźle orientować się w tym, co wydarzyło się w większości nauk fizycznych. To historia opowiedziana przez liczby – chociaż nie w konwencjonalnym tego słowa znaczeniu.

Podczas pisania książki zdarzyło się jeszcze kilka rzeczy, o których warto wspomnieć. W trakcie czytania lektur dodatkowych, czego ta praca ode mnie wymagała, miałem okazję poznać biografie kilku naukowców, których wkład opisuję. Nie wiem, co zaimponowało mi bardziej – wysokiej jakości pisarstwo czy osiągnięcia naukowe zaprezentowane dzięki skrupulatnemu zbieraniu informacji na temat tych osób. Kilka tych książek wymieniłem w przypisach, ale te, które wywarły na mnie największe wrażenie, to The Master of Light (Mistrz światła), niezwykle szczegółowa opowieść o Albercie Michelsonie (napisana przez jego córkę); krótka, lecz zdumiewająca Ludwig Boltzmann (napisana przez Engleberta Brodę), książka, która sprawia, że marzy ci się możliwość spędzenia choćby godziny w towarzystwie tego wielkiego uczonego; i Chandra (autorstwa Kameshwara Waliego), opis profesora, który wzbudzał podziw – i do pewnego stopnia przerażenie – studentów, ale który był powszechnie podziwiany i uwielbiany przez swoich kolegów.

Znaczący udział w powstaniu tej książki miały cztery osoby. Przede wszystkim T.J. Kelleher redaguje jak nikt inny. Nawet kiedy usuwał moje ulubione fragmenty, to prawie zawsze z pełnym uzasadnieniem, a dzięki temu książka jest znacznie lepsza. W pierwszym rozdziale zauważyłem również różnicę między stylem T.J. a moim, ale po jego poprawkach, kiedy przeczytałem ten rozdział, niemal wydawało mi się, że sam go w całości napisałem! Nie mam pojęcia, jak on to robi; ja potrafię pisać tylko swoim stylem – i podejrzewam, że ci z autorów, którzy współpracowali z T.J., mogliby poświadczyć tę jego umiejętność. Pomocny jest taki redaktor, który nie tylko zauważa błędy w twojej prezentacji, ale kiedy je naprawia, wydaje się, jakbyś ty napisał ten tekst. Wreszcie T.J. uwielbia naukę i matematykę, co rzadko zdarza się ludziom niebędącym naukowcami lub matematykami. Spotkałem w życiu jeszcze tylko jedną taką osobę – i był nią mój ojciec, przypadkowo również absolwent Harvardu, tak jak T.J.

Moją karierę pisarską zawdzięczam agentce Jodie Rhodes. Dla autorów nastały ciężkie czasy, ponieważ wydawcy zwykle niechętnie podejmują ryzyko i wyobrażam sobie, jak trudno jest agentom spotykać się z odmową, wciąż z zapałem trwać przy swoich autorach i walczyć o ich prawa, gdy niełatwo jest coś sprzedać. Cóż, mógłby to być problem dla innych agentów, ale Jodie wstawiała się za mną i walczyła o mnie bez przerwy. Chociaż sądzę, że jestem znośnym autorem, ważne jest, żeby znaleźć redaktora i wydawcę, którzy podzielają ten pogląd, a Jodie ma rozległe doświadczenie i dzięki niemu dopasowała mi redaktora i wydawcę, którzy docenili mój wysiłek. Być może inni agenci również by tego dokonali – jednak wątpię i nie mam pojęcia, co zrobię, kiedy ona przejdzie na emeryturę.

Trzecią osobą jest jeden z najbardziej niezwykłych studentów, których miałem przyjemność uczyć. W latach osiemdziesiątych XX wieku Dave McKay zapisał się na zajęcia z analizy matematycznej, które prowadziłem. Od tamtej pory uznaję Dave’a za przyjaciela i kolegę po fachu, a książka ta ogromnie skorzystała na fakcie, że Dave, nauczyciel akademicki na Uniwersytecie Stanowym Kalifornii w Long Beach, stał się nie tylko niezwykle doświadczonym wykładowcą matematyki, ale równie wytrawnym wykładowcą fizyki. Zawsze uwielbiałem fizykę, ale jako osoba, która podziwia obiekt zamiłowania z oddali, nigdy bowiem nie pojąłem wielkich idei fizyki z taką samą przejrzystością, z jaką zrozumiałem niektóre z wielkich idei matematyki. Dave’owi się to udało – ponieważ chętnie poświęcił dwadzieścia pięć lat na studiowanie fizyki z zamiarem zrozumienia jej w taki sposób, w jaki matematycy pojmują matematykę.

Czytelnicy tej książki zauważą dużą liczbę obliczeń, ponieważ książka jest nie tylko o kosmicznych liczbach, które opisują nasz Wszechświat, ale również o liczbach samych w sobie – uniwersalnym języku, jak nazwał matematykę Galileusz. Większość obliczeń w tej książce wymaga co najwyżej elementarnej wiedzy z algebry, geometrii i być może troszkę trygonometrii, ale zazwyczaj u podstaw tych obliczeń leży teoria fizyczna. Uzasadnienia teorii fizycznej leżą poza zakresem tej książki, jednak większość tekstów wprowadzających do fizyki zawiera wszystkie równania i wzory, które wykorzystałem.

I ostatnia – ale nie mniej ważna – jest moja żona Linda. Nie przepadam za piosenką You Are the Sunshine of My Life (Jesteś słońcem mego życia) – melodia nie porywa, a słowa są trochę ckliwe – ale jest ona dobrym opisem Lindy. Nie pisze książek, ale robi rzeczy, które sprawiają, że mnie jest łatwiej je pisać. Niektórzy ludzie narzekają, że matematyka sprawia, iż lasuje im się mózg, na mnie tak samo działają umowy – nie potrafię przeczytać więcej niż akapit, a Linda wytrwale bierze je pod lupę. Oczywiście to dodatkowa zaleta słońca mego życia.

Kiedy ta książka się ukaże, będę miał siedemdziesiąt lat i tak naprawdę żałuję tylko dwóch rzeczy, obie dotyczą moich rodziców. Nigdy nie mieli okazji przeczytać żadnej z moich książek ani nie poznali Lindy. Sądzę, że oba doświadczenia by się im spodobały.

ROZDZIAŁ 1

STAŁA GRAWITACJI

Nie jestem w stanie w pełni wyobrazić sobie życia w XVII wieku, na który przypadła większość żywota Izaaka Newtona. Był to bardziej świat alchemii niż chemii, świat pozbawiony wielu rzeczy, które sprawiają, że życie jest znośne (przynajmniej dla mnie): papieru toaletowego, pasty do zębów, telefonów czy telewizji. Jednocześnie był to świat książek i gazet, listów i dzienników (siedemnastowieczna wersja bloga) i dzięki temu wiemy o Izaaku Newtonie niemal tyle, ile wiedzielibyśmy, gdyby poruszał się z urządzeniem do namierzania GPS przypiętym do kostki – przy założeniu, że urządzenie to zostało przymocowane około 1664 roku.

Newton urodził się w 1642 roku, co nie pozwala odtworzyć w pełni jego biografii. Na podstawie tego, co wiemy, jasne wydaje się, że w przeciwieństwie do takich wyjątkowych talentów jak Mozart czy matematyk Carl Friedrich Gauss w młodości nie dokonał niczego, co zapowiadałoby jego przyszłą wielkość. Wiemy, że jego matka chciała, żeby został rolnikiem. Na szczęście dla nas Newton nie wykazywał żadnego zainteresowania rolnictwem, jednak przekonanie jego matki, by posłała Izaaka do Trinity College w Cambridge, wymagało wspólnego wysiłku wuja oraz dyrektora szkoły (który wydawał się jedyną osobą dostrzegającą możliwości Newtona). Przyszły uczony rozpoczął naukę w „rezerwowej szkole” w 1661 roku. Był to jeden z najbardziej udanych planów B w historii.

Początkowe lata Newtona na uczelni nie są dobrze udokumentowane ani przez niego, ani przez jego rówieśników. W jego dzienniku znajdują się zapisy o wydarzeniach przypuszczalnie najważniejszych („Dwa razy w tawernie”) i mniej ważnych („Podwójna porażka w karty”), nie ma jednak cienia talentu, który miał się wyłonić. Wszystko zaczęło się w 1664 roku, kiedy zanotował w „Książce z nieużytecznymi zapiskami”, że rozpoczyna poważną naukę matematyki. Wcześniej matematyczna wiedza Newtona była na poziomie współczesnej drugiej klasy szkoły średniej; wygląda na to, że znał się na arytmetyce, jednak jego wiedza na temat algebry, geometrii i trygonometrii nie byłaby wystarczająca, by uzyskać imponujący wynik na maturze. Zmobilizował się i kupował lub pożyczał najnowocześniejsze w owym czasie książki matematyczne, dzięki czemu był na bieżąco. Z Clavis mathematicae[1] (Klucza do matematyki) Oughtreda poznał moc i szerokie zastosowanie algebry – co doprowadzi do odkrycia dwumianu Newtona. Dzięki Opera mathematica[2] (Pracom matematycznym) zgłębił temat, który w przyszłości stanie się jego popisowym matematycznym osiągnięciem – odkrycie rachunku różniczkowego i całkowego. Aby skorygować swoje braki w zakresie geometrii, Newton opierał się na dokonanym przez Schootena łacińskim tłumaczeniu Géométrie[3] (Geometrii) Kartezjusza.

Newton otrzymałby licencjat w roku 1665, roku ostatniego wielkiego wybuchu zarazy morowej w Anglii. Epidemia rozprzestrzeniała się w zatłoczonych i niehigienicznych warunkach – i na szczęście zdawano sobie sprawę z tego, więc dwór króla Karola II wyjechał z Londynu do Oxfordshire, a uniwersytet w Cambridge zamknięto. Izaak Newton postanowił powrócić do domu rodzinnego w Woolsthorpe i następne półtora roku spędził nad „rozmyślaniem o matematyce i filozofii”[4]. W ten sposób zbudował świat na nowo.

Rozwój teorii grawitacji

Chociaż wkład Newtona w matematykę był fundamentalny, najlepiej pamięta się jego dokonania w dziedzinie fizyki oraz postęp w nauce, który zawdzięczamy jego odkryciom. Ogromnie przyczynił się do rozwoju optyki, jednak to dzięki pracom z mechaniki i grawitacji, a ponadto naukowemu podejściu do teorii i przeprowadzania doświadczeń, darzony jest tak wielkim szacunkiem.

Ogłoszenie nowej teorii naukowej prawie nigdy nie jest łatwe. Innowatorzy tacy jak Newton nie martwią się na ogół tym, czy przedstawiany materiał będzie zrozumiały dla możliwie największej liczby odbiorców; bardziej interesuje ich, czy zostanie zaakceptowany przez innych specjalistów i następnie rozwijany. Tak właśnie było z Newtonowskimi Philosophiae naturalis principia mathematica[5] (Matematycznymi zasadami filozofii przyrody, nazywanymi zwykle Principiami); przeglądałem je od czasu do czasu i zdecydowałem, że przeczytam tę księgę, kiedy przejdę na emeryturę (dodając to do listy wciąż niedotrzymanych postanowień). Styl Principiów Newtona przypomina typowy tekst z geometrii – aksjomaty, twierdzenia, lematy, dowody – a wiele zawartych w nich wniosków ma w rzeczywistości charakter geometryczny. Nie jest to zaskakujące, ponieważ jednym z kluczowych osiągnięć pracy, która po części opisuje Newtonowską teorię grawitacji, było wyjaśnienie trzech praw ruchu Keplera, które są geometryczne. Pierwsze prawo Keplera mówi, że planety poruszają się wokół Słońca po elipsach, a Słońce znajduje się w jednym z ognisk elipsy. Drugie prawo mówi, że wyobrażona linia pociągnięta od środka Słońca do środka planety będzie zakreślać takie same powierzchnie w takich samych odstępach czasu. A trzecie prawo mówi, że stosunek kwadratów okresów dwóch dowolnych planet równy jest stosunkowi sześcianów ich średniej odległości od Słońca.

Prawa te nie są tylko spostrzeżeniem genialnego geometry opierającego się na kilku założeniach, mają także empiryczny charakter – są wynikiem trwającego całe życie gromadzenia danych i dopasowywania modeli opartych na obserwacjach drobiazgowo zbieranych przez Tychona Brahego, ekscentrycznego duńskiego arystokratę zainteresowanego astronomią. Brahe był pod wrażeniem prac Keplera i zaprosił go w okolice Pragi, gdzie budował nowe obserwatorium. Kepler zostanie intelektualnym spadkobiercą Brahego.

W owym czasie rewolucja kopernikańska nabierała impetu, a Keplerowi udało się dopasować doskonałe dane obserwacyjne Brahego do kopernikańskiego modelu Układu Słonecznego, w którym planety poruszają się wokół Słońca po okręgach. Początkowy model orbit planet Keplera zawierał dodatkową wskazówkę, gdyż Kepler sądził, że orbity odpowiadają geometrycznym własnościom pięciu wielościanów foremnych Platona – czworościanu, sześcianu, ośmiościanu, dwunastościanu i dwudziestościanu z odpowiednio czterema, sześcioma, ośmioma, dwunastoma i dwudziestoma ścianami.

W każdym razie Kepler starał się dopasować dostępne mu dane do okręgów. Na szczęście Brahe właśnie wykonał obserwacje Marsa z bardzo dużą dokładnością – orbita planety znacząco odbiegała od okręgu. Gdyby Brahe właśnie zakończył obserwacje Wenus, której orbita jest niemal idealnie kolista, nie wiadomo kiedy – ani czy w ogóle – Kepler byłby w stanie dojść do swojego pierwszego prawa.

Odkrycie przez Keplera pierwszego prawa stanowi świadectwo jego prawdziwej dyscypliny intelektualnej, a odkrycie drugiego i trzeciego – ogromnych matematycznych umiejętności. Znalezienie powierzchni wycinków elipsy potrzebnych do sformułowania drugiego prawa jest zadaniem leżącym znacznie poza podstawową geometrią euklidesową, a rozpoznanie zależności potęgowej właściwej dla trzeciego prawa także wymaga sporej zręczności matematycznej. Niemniej jednak Kepler spędził lata nad formułowaniem i sprawdzaniem drugiego i trzeciego prawa. W tym czasie był nękany przez liczne problemy osobiste i polityczne – z powodu choroby stracił obie żony i ukochanego syna, a odmowa przejścia na katolicyzm ograniczyła mu liczbę potencjalnych pracodawców. Oprócz tego wszystkiego musiał zapewnić prawną obronę matce, kiedy została oskarżona o czary, zarzut ten w owych czasach był karany śmiercią w torturach. Oskarżenie oparte było jedynie na plotce, jednak – co nie dziwi, ponieważ nie udało się znaleźć zbyt wielu poświadczonych przypadków czarów ani wtedy, ani dziś – Keplerowi udało się doprowadzić do jej uniewinnienia.

Dokonania Keplera z nawiązką usprawiedliwiały jego epitafium:

„Wymierzałem niebiosa, teraz mierzyć będę cienie ziemi.

Dusza należała do niebios, cień ciała tu leży”[6].

Kwestia prędkości

Bezpośrednim i nieilościowym wnioskiem z pierwszego i drugiego prawa Keplera jest to, że planety w różnych miejscach orbity poruszają się z różnymi prędkościami. Elipsa to rozciągnięty okrąg, przypominający z profilu balon, o dwóch osiach symetrii, długiej i krótkiej. Jeżeli elipsa, o której mowa, jest orbitą planety, to Słońce znajdować się będzie na długiej osi blisko elipsy. Wyobraźmy sobie teraz, że planeta pokonuje małą odległość z punktu koło Słońca tuż nad długą osią do punktu koło Słońca tuż pod długą osią. Możemy oszacować powierzchnię, jaką zakreśli planeta przez powierzchnię trójkąta równoramiennego (chociaż tor planety jest zakrzywiony, przy małych odległościach rozsądnie jest traktować go jak linię prostą prostopadłą do długiej osi). Wysokość trójkąta to odległość od Słońca do elipsy wzdłuż długiej osi; jest ona mniejsza od połowy długiej osi, ponieważ ustawiliśmy Słońce na długiej osi blisko elipsy. Oczywiste jest, że jeżeli planeta porusza się cały czas z taką samą prędkością, to będzie przemierzać na swoim torze tę samą odległość, kiedy znajduje się blisko Słońca czy w symetrycznym położeniu na orbicie daleko od Słońca. Załóżmy, że planeta zawsze porusza się z tą samą prędkością. Jeżeli pokonuje ona tę samą małą odległość z punktu z dala od Słońca tuż nad długą osią do punktu z dala od Słońca tuż pod długą osią, to powierzchnia, jaką zakreśla, może znowu, zgodnie z drugim prawem Keplera, być przybliżona do trójkąta o długości podstawy takiej samej jak w trójkącie blisko Słońca. Jednak tym razem wysokość trójkąta – odległość od Słońca do elipsy wzdłuż długiej osi – jest większa od połowy długiej osi, a zatem owe dwa trójkąty mają różne pola powierzchni. Jeżeli pierwsze i drugie prawo Keplera są prawdziwe, to planeta nie może poruszać się z taką samą prędkością, kiedy jest blisko Słońca i kiedy jest od niego daleko.

Dla wyjaśnienia, jak to się dzieje, nieoceniona będzie praca Newtona na temat rachunku różniczkowego i całkowego. Jednym z najistotniejszych spostrzeżeń, na które pozwala ten rachunek, jest sposób zdefiniowania stale zmieniających się wartości – takich jak prędkość planety lub samochodu – w dowolnym czasie. Wyobraźmy sobie na przykład, że pewnego popołudnia przejechałem samochodem z Los Angeles do San Diego, odległość około 195 kilometrów, w ciągu trzech godzin. Prosta arytmetyka mówi mi, że średnia prędkość tej podróży wynosiła 65 kilometrów na godzinę, jednak nie mówi, jak szybko przejechałem przez otwarty odcinek drogi tuż przed skrzyżowaniem autostrad międzystanowych, albo jak wolno jechałem w korku niedaleko Mission Viejo. Aby określić, jak szybko mój samochód poruszał się o godzinie czternastej, muszę spojrzeć na zbiór jego średnich prędkości w coraz krótszych odcinkach czasu w tych konkretnych godzinach. Średnia prędkość samochodu obliczona w przedziale czasu równym jednej sekundzie jest lepszym oszacowaniem jego rzeczywistej prędkości na początku przedziału czasu niż średnia prędkość obliczona w przedziale czasu równym jednej minucie – ponieważ samochód ma więcej czasu na zmianę prędkości w ciągu minuty niż w ciągu sekundy. Gdybyśmy chcieli zmierzyć średnią prędkość w jeszcze krótszym odcinku czasu – powiedzmy w ciągu 0,001 sekundy – byłaby ona niezwykle bliska prawdziwej prędkości samochodu na początku tego przedziału, przy założeniu oczywiście, że w ciągu tej 0,001 sekundy nie wjechałem w żadną ciężarówkę.

Principia Newtona pokazują nie tylko to, ale przedstawiają również metodę obliczania chwilowych prędkości w dowolnym czasie za pomocą rachunku, którego studenci analizy matematycznej uczą się jako metody ilorazu różnicowego, a która polega na obliczeniu granicy średnich wartości. Newton przewiduje również problemy, jakie napotykają studenci.

[...] wolałem oprzeć dowody tego, co następuje, na pojęciu granicy sum wielkości nieskończenie małych i granicy stosunków wielkości nieskończenie małych, i przedstawić dowody dotyczące tych granic na samym początku tak krótkie, jak tylko to możliwe. Ponieważ zasady otrzymane metodą niepodzielnych zostały ściśle udowodnione, stoimy teraz na bardziej bezpiecznym gruncie, gdy ich używamy. Zgodnie z tym zawsze, gdy rozważam wielkości jako składające się z cząstek lub kiedy używam małych elementów krzywej linii zamiast prostych odcinków, nie będę miał na myśli wielkości „niepodzielnych”, lecz nieskończenie małe podzielne wielkości, nie sumy ani stosunki skończonych części, lecz zawsze granice sum i stosunków, tak iż siła dowodów będzie zawsze oparta na metodzie wyłożonej w powyższych lematach[7].

Całkiem nieźle znam się na rachunku różniczkowym i całkowym, jednak przebrnięcie przez wytłumaczenie Newtona w poprzednim akapicie nie jest dla mnie łatwe i wydaje mi się, że dla studenta z XXI wieku nauczenie się z tej książki owego rachunku czy teorii grawitacji może być prawie niemożliwe.

Wielkie G i małe g

Istotę pracy Newtona na temat grawitacji stanowią dwie stałe: uniwersalna stała G opisana w Principiach i lokalne przyspieszenie g na powierzchni Ziemi będące wynikiem siły grawitacji. Małe g, jak się je zwykle nazywa, jest stosunkowo łatwe do zmierzenia, przynajmniej jeżeli jesteśmy w stanie zadowolić się przybliżeniem do dwóch lub trzech miejsc po przecinku – musimy jedynie znaleźć próżnię (żeby wyeliminować opór powietrza), rzucić przedmiot i zmierzyć, jak daleko spadnie i jak dużo czasu zajmuje mu upadek. To Galileusz pierwszy zdał sobie sprawę z tego, że odległość, jaką pokona spadający przedmiot, jest proporcjonalna do kwadratu czasu, jaki zajmuje upadek, a jedną z wielu konsekwencji Newtonowskiego prawa grawitacji – i prostym zadaniem na pierwszym semestrze analizy – jest pokazanie, że odległość d, jaką pokonuje obiekt w czasie t, wynosi d = ½ gt^2. Dość łatwo wyznaczono, że małe g wynosi w przybliżeniu 10 metrów na sekundę na sekundę. Łatwiej jest myśleć o tym jak o „10 metrach na sekundę” – pauza – „na sekundę”; z każdą sekundą, z jaką obiekt spada pod wpływem ziemskiej grawitacji, jego prędkość wzrasta o 10 metrów na sekundę. Na Księżycu przedmioty spadają dużo wolniej, co zademonstrowali astronauci – nawet Wiluś E. Kojot miał na Księżycu czas, by wydostać się spod spadającego kowadła. Zatem małe g jest stałą lokalną.

Wielkie G jest z kolei uniwersalne, istnieje jednak, jak się można spodziewać, między nimi zależność. Jednym z wielkich osiągnięć Newtona było pokazanie, że siła grawitacji sfery działa tak, jakby cała masa była skoncentrowana w jej środku. Dlatego siłę grawitacji działającą na obiekt o masie m i wywołaną przez Ziemię (której masę oznaczać będziemy przez M, a promień przez R) można przedstawić na dwa sposoby: jako F = GmM/R^2 zgodnie z prawem grawitacji i jako F = mg zgodnie z drugim prawem dynamiki Newtona. Porównując te dwa wyrażenia, zauważymy, że wyraz m skraca się z obu stron równania i g = GM/R^2. Wartość R znana była (w przybliżeniu) starożytnym Grekom – lecz aby wyznaczyć G z dowolną dokładnością, niezbędna jest znajomość wartości M, a badania tego problemu nie podjęto jeszcze wiele lat po śmierci Newtona.

Tak naprawdę przez następne dwa stulecia nikt nie interesował się wyznaczeniem G, ponieważ żadne z interesujących wtedy naukowców zagadnień nie wymagało znajomości tej stałej. Większość ówczesnych osiągnięć w astronomii – a także tych współczesnych – wymagała wykorzystania stosunków. Nic dziwnego, równość stosunków umożliwia wiele praktycznych obliczeń i wykorzystywano to na długo przed Principiami. Stosunki pojawiły się w arytmetyce wcześnie. (Jeżeli do porcji ciastek, którą nakarmimy trójkę dzieci, potrzebujemy dwóch jajek, to jak wielu jajek potrzeba, aby nakarmić dwanaścioro dzieci?) Występują znowu w geometrii, kiedy wykorzystujemy równość stosunków odpowiadających sobie boków trójkątów podobnych do zmierzenia wysokości drzewa lub odległej góry. W obu wypadkach wykorzystane stosunki – arytmetyczne i geometryczne – mają ogromne praktyczne znaczenie zarówno w naukach fizycznych, jak i w życiu codziennym. Jeżeli nie poznamy właściwej liczby jajek, nasze ciasteczka nie będą odpowiednio kruche.

Newton potrafił wyprowadzić trzecie prawo Keplera – stosunek kwadratów okresów jakichkolwiek dwóch planet równa jest stosunkowi sześcianów ich średniej odległości od Słońca – ze swojego prawa grawitacji. Astronomowie nauczyli się następnie wykorzystać te stosunki wraz z odległością Ziemi od Słońca (która została obliczona przez Giovanniego Cassiniego na dekadę przed publikacją Principiów)[8] i okresami planet do obliczenia średniej odległości planety od Słońca. Po prostu nie ma potrzeby znajomości stałej grawitacji – dlatego też nikt nie zawracał sobie głowy obliczaniem jej aż do czasu eksperymentu, który odbył się pod koniec XVIII wieku i który umożliwił nam jej poznanie.

Eksperyment Cavendisha

Dostępne w pełnej wersji

1 Whiteside D., Sources and Strengths of Newton’s Early Mathematical Thought, W: The Annus Mirabilis of Sir Isaac Newton, 1666‒1966, red. R. Palter, Cambridge 1970, MIT Press, s. 74.

2 Ibid.

3 Ibid.

4 Gribbin J., The Scientists: A History of Science Told Through the Lives of Its Greatest Inventors, New York 2003, Random House, s. 181.

5 Newton I. Matematyczne zasady filozofii przyrody, tłum. J. Wawrzecki, Kraków 2011, Konsorcjum Akademickie.

6 Koupelis T., In Quest of the Universe, Sudbury 2011, Jones & Bartlett Publishers, s. 62, tłum. Kierul J., Kepler, Warszawa 2007, Państwowy Instytut Wydawniczy, s. 502.

7 Tłum. Wawrzecki J., Matematyczne zasady filozofii przyrody, Kraków 2011, Konsorcjum Akademickie, s. 220‒221.

8 Uznany włoski astronom Giovanni Cassini, na cześć którego nazwano statek kosmiczny obecnie okrążający Saturna i jego księżyce, był pierwszy, który przeprowadził dokładny pomiar odległości Ziemi od Słońca. Zastosował on tak zwaną metodę paralaksy, która wykorzystywała dostępne w owym czasie ulepszone teleskopy i prosty fakt: jeżeli z dwóch różnych położeń obserwujesz bliski obiekt na tle nieruchomego tła, obiekt ten na tym tle przesunie się (można to zaobserwować podczas patrzenia najpierw prawym okiem, a później lewym na bliski obiekt na tle odległego horyzontu). Pomiary odpowiednich kątów i odległości między położeniami obserwacji wraz z geometrią i trygonometrią umożliwiają obliczenie odległości do bliskiego obiektu. Cassini wraz z kolegą astronomem przeprowadził jednoczesne pomiary z Paryża i Gujany Francuskiej i otrzymał odległość Ziemi od Słońca, która różni się od przyjmowanej dzisiaj wartości o 1 procent.

ROZDZIAŁ 2

PRĘDKOŚĆ ŚWIATŁA

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 3

STAŁA GAZU DOSKONAŁEGO

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 4

ZERO BEZWZGLĘDNE

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 5

LICZBA AVOGADRA

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 6

ELEKTRYCZNOŚĆ I STAŁA PROPORCJONALNOŚCI

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 7

STAŁA BOLTZMANNA

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 8

STAŁA PLANCKA

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 9

PROMIEŃ SCHWARZSCHILDA

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 10

WYDAJNOŚĆ SYNTEZY WODORU

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 11

GRANICA CHANDRASEKHARA

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 12

STAŁA HUBBLE’A

Dostępne w pełnej wersji

ROZDZIAŁ 13

OMEGA

Dostępne w pełnej wersji

Table of Contents

PRZEDMOWA

STAŁA GRAWITACJI

Rozwój teorii grawitacji

Kwestia prędkości

Wielkie G i małe g

Eksperyment Cavendisha

PRĘDKOŚĆ ŚWIATŁA

STAŁA GAZU DOSKONAŁEGO

ZERO BEZWZGLĘDNE

LICZBA AVOGADRA

ELEKTRYCZNOŚĆ I STAŁA PROPORCJONALNOŚCI

STAŁA BOLTZMANNA

STAŁA PLANCKA

PROMIEŃ SCHWARZSCHILDA

WYDAJNOŚĆ SYNTEZY WODORU

GRANICA CHANDRASEKHARA

STAŁA HUBBLE’A

OMEGA